先说个真事。去年有个月考，一道立体几何题，全年级正确率不到四成。考完我扒了扒试卷，发现错因五花八门，但最集中的就一个——空间角找错了。
所以今天把空间角求解方法从头到尾捋一遍。不是网上那种干巴巴的公式堆砌，而是基于我这些年批改作业的经验，专门挑易错点讲。
先明确概念：空间角有三种——异面直线所成角、线面角、二面角。它们的范围不同，求法也不同。
一、异面直线所成角：平移是王道
异面直线所成角，课本定义是“过空间任意一点分别作两条异面直线的平行线，这两条平行线所成的锐角或直角”。注意，是锐角或直角，所以范围在(0°,90°]。
怎么求？平移法绝对是首选。把其中一条直线平移，与另一条相交，然后放在三角形里算。但平移不是瞎移，要利用题目中的中点、平行四边形这些天然工具。
举个经典例子：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求A1B与B1C所成的角。你要是直接建系，也不算错，但有点小题大做。平移一下：因为B1C平行于A1D，所以问题转化为求A1B与A1D的夹角。然后你发现三角形A1BD是等边三角形（边长都是面对角线），所以夹角60°。干净利落。
这里有个大坑：如果你用向量法，求出的两向量夹角余弦值可能是负的，比如-1/2，那对应的角是120°，但异面直线所成角不可能是钝角，所以实际角度应该是60°。也就是说，向量法算完后要取绝对值或补角。很多同学栽在这，前面求对了，最后写了个120°，白丢分。
二、线面角：找到“射影”是关键
线面角，是斜线与其在平面上的射影所成的角（注意是锐角）。核心就是找射影——即过斜线上一点作平面的垂线，连接垂足和斜足。
难点在哪儿？垂足不好找。这时候要活用面面垂直的性质：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于交线的直线，必垂直于另一个平面。所以，遇到垂直的平面，先找交线，再过交点作垂线。
还有一种情况，直接用向量法。建系，求出平面的法向量n，然后设斜线的方向向量为l，那么线面角θ满足sinθ=|cos〈l,n〉|。注意！这里是正弦，不是余弦。我见过无数学生写成cos。
标准答题思路要写三步：一作，二证，三算。先作出线面角，再证明它就是线面角（就是证明那条线是垂线），最后计算。很多学生跳过第二步，直接算，步骤分扣得心疼。
看个例题：四棱锥P-ABCD，底面是矩形，PA⊥底面，AB=2，AD=1，PA=1，求PB与平面PCD所成的角。
这题用向量法比较稳。以A为原点，AB,AD,AP为轴建系，然后求平面PCD的法向量。算出法向量后，用sinθ=|cos〈PB,n〉|。具体计算就不写了，提醒一点：在求法向量时，一定要先证PA、AB、AD两两垂直，否则建系不合法，很可能被扣分。
三、二面角：平面角是灵魂
二面角，是三个角里最棘手的。它不是一个角，而是两个半平面所成的角，大小用平面角度量。平面角怎么找？在棱上取一点，分别在两个半平面内作垂直于棱的射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角。
常用方法有：定义法、三垂线法、垂面法、向量法。我个人觉得，三垂线法和向量法要重点掌握。三垂线法的口诀就是：过半平面内一点向另一个半平面作垂线，再过垂足向棱作垂线，连接两个垂足，所成角就是平面角。
向量法呢？求出两个半平面的法向量n1,n2，设二面角为θ，则cosθ=±|cos〈n1,n2〉|。这个正负号怎么取？就得看图。观察二面角是锐角还是钝角。如果是锐角，取正；钝角，取负。但这里有个坑——你看到的图形可能不直观，尤其是斜二测画法下，锐角可能看着像钝角。所以更稳妥的办法是：在棱上取一个特殊点，在两个半平面内各取一个方向向量，然后通过判断方向来确定。
讲一个典型例子：长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，AD=1，AA1=1，求二面角B-A1C-B1的正弦值。
标准答法：建系，求出平面A1BC和平面A1CB1的法向量，然后算两个法向量的夹角余弦值，再通过观察二面角是锐角（事实上这个角是锐角），得到sin值。注意，这里求的是正弦，所以要用平方关系转换。
另外，千万别忘了，二面角范围是[0,π]，所以它可以是钝角。有些题目故意不给图，让你判断，这就考验空间感了。
四、避坑指南：这些错误年年有人犯
1. 异面直线所成角取补角问题。向量夹角算出来是120°，实际空间角就是60°，别傻乎乎写120°。
2. 线面角用错三角函数。线面角的正弦值等于向量夹角余弦的绝对值，不是余弦。
3. 二面角正负号判断。法向量夹角可能等于二面角，也可能互补。多画图，多观察，别凭感觉。
4. 建系前不证明垂直。这是很多人忽略的。高考阅卷时，只要你建系，必须先说明三条轴两两垂直，否则扣除步骤分。
5. 计算粗心。求法向量时，行列式算错，或者忘记约分，导致后面全错。告诉你个土办法：算完后代入一个端点坐标检验一下，确保法向量真的垂直于平面。
6. 还有一个心理层面的坑：看到立体几何就畏难，直接用向量暴力计算，不尝试几何法。其实有些题几何法快得多，比如正方体里的异面直线问题。建议平时两种方法都练，考试时选顺手的那一种。
好了，这些就是空间角求解方法的核心内容。最后说句真心话：立体几何提分很快，把你的空间想象力和计算手感合起来，多刷几道经典题，就能稳稳拿分。
就这样。我去改作业了。
